让学生学习怎样的“估算”？

华东师范大学 吴亚萍

    一、背景介绍
    W老师是一位有8年教龄的骨干教师。考虑到要把书本知识与学生的生活实际相联系，W老师决定在教学了教材中选学内容“乘数是一位数乘法估算”的基础上，继续教学教材中的选学内容“除数是一位数除法的估算”，因此，制定了本节课的教学目标：1、了解估算的意义。2、会利用估算解决实际问题。
    二、教学过程描述
    首先，教师开场白：“同学们，星期五我们要春游去了，高兴吗？”，学生“耶”欢呼，群情激奋。教师接着说：“在春游前，我们先解决一些数学问题。”呈现问题一：三年级学生去春游，3个班需要饮料312瓶，平均每班大约需要多少瓶饮料？学生立即动笔计算，巡视教室发现学生有以下几种情况：第一种：估算312÷3≈100；第二种：精确计算312÷3=104；第三种：先精确计算312÷3=104，再把计算结果104估计成100，学生写成104→100；第四种：312÷3=14（商中间0漏掉了）。教师对诸多的情况视而不见，而是根据教案预设的答案，请了两名第一种情况的学生上黑板板书，接着教师讲解黑板上学生示范的题目，提醒学生题目中有“大约”二字就是要“估算”，然后全班学生独立练习915÷3，792÷4，并小结这些题目怎样估算的，学生回答把被除数看成整百数，再用这个数除以除数。
    接着，教师呈现问题二：全校1224人平均分成6组做游戏，每组大约多少人？学生动笔计算，这时全班几乎所有的学生都用估算的方法进行计算，教师很满意，依旧是请两位学生上黑板板书，教师讲解并提醒同学要把1224看成整千整百数1200，所以1224÷6≈200，然后全班独立练习4998÷5，8021÷4。
    完成上面两个层次的教学任务后，教师请学生思考一下，有什么要提醒大家注意的？S1：不要忘写约等号；S2：写答句时，“大约”不要漏掉；S3：计算时把被除数看成整千整百数，列式时要写准确数。教师很高兴，全都注意了。（学生全部钻入教师所设的“套”中）
    最后，教师请学生做练习：1、计算：629÷3            435÷4≈   
                           2、填□：□781÷3≈200    □486÷7≈500
    三、教师的反思
    课后，W老师对自己的课做了反思，认为（1）该教学内容虽属于选学内容，但考虑到估算在生活实际中的应用，所以决定还是做为必学内容进行教学。（2）在设计中注意了与生活实际的联系。（3）在课上大部分学生比较主 动，掌握了估算的方法，目标是落实的。（4）课上有预料之外的是629÷3,有学生认为629÷3≈200，也有学生认为629÷3≈210，为什么是预料之外呢？W老师的答案是629÷3≈200。对这个问题的处理，W老师认为两者都没有错。因为直觉使她感到629÷3≈210也是可以的，所以没有否定学生这样的结果。W老师对自己的这个处理感到比较满意，没有跟着教案走，而是随机应变。
    四、问题讨论
    从上面这个案例，笔者认为可以思考如下问题：
    1、学生看见“大约”就估算，估算的方法是先把被除数看作整千整百数，再计算，是否就是学生掌握了估算，达到了教学目标？
    2、教学是让学生记忆知识点，还是应该培养学生的估算能力？
    3、怎样的教学才是把数学知识真正与生活实际相联系？
    4、是关注教案，还是关注学生的差异，如何针对“人”而教？
    关于前面三个问题的思考，可以归结为一个核心的问题是：让学生学习怎样的“估算”？（关于第四个问题的思考笔者另外撰文讨论。）
    应该让学生学习怎样的估算？要寻找解决这个问题的答案，我们首先对这个案例做一个分析和反思。
    反思之一：这堂课中学生所表现出来的问题有：第一，学生先精确计算312÷3=104，再把计算结果104估计成100，104→100，学生对怎样进行估算和为什么要估算表现出不理解；第二，大部分学生通过学习知道，看见“大约”就要估算；第三，学生掌握的估算方法是先把被除数估计成整百整千数，然后再计算；第四，整堂课的学习在教师的设计和引导下，学生不用思考与判断，看见题目就估算。
    上述所列出的四种问题，如果说第一个是问题可以被教师所认可。后三个也许就不能被教师所接受，因为在许多教师看来，估算不这么教学还能怎样教学？或许这正是我们的小学数学教育的悲哀。长期教学的思维定势，导致教师围绕着知识点进行教学，学生也很会揣摩教师的心思，师生之间心领神会，配合默契，今天学估算，就不精确计算，明天讲笔算，就不简便运算或估算，表现出教学的“狭窄化”。教师们为了落实知识点，达到教学目标，往往反复“提醒”学生注意，看见“大约”就估算，估算时把数看作整千整百数，表现出教学的短期化。而对这些问题，教师缺乏认识和思考，教师的浅意识和定势的思维方式决定了他们已习以为常的教学行为。
    反思之二，这堂课中W老师认为强调了书本世界和生活世界的沟通,安排了两个联系生活实际的问题来进行教学，强调了估算在实际中的应用。一是春游分饮料问题；二是游戏分组问题。如果说这就是对数学生活化和应用化的理解，那么，我们认为这种认识是肤浅的、表面的。因为，这种看见“大约”就估算的问题，学生只有在教师设计的习题和试卷中遇到，在学生面临生活实际的问题中，没有“大约”二字。学生可能会做书上的习题却解决不了生活中的实际问题，这怎能说强调了估算在生活中的实际应用？这种就事论事的教学，其实就是让学生记忆知识点，缺乏对学生判断能力和估算能力的培养，这又怎能说是书本世界与生活世界的沟通？
    反思之三，什么是估算？为什么要估算？教学估算的价值何在？对这些问题的思考，有利于唤醒教师和提升教师的教学观念。数学教育的改革需要唤醒教师，呼唤教师对数学教育的重新认识和思考。
我们认为，估算是生活中常用的计算方法，有时为方便起见不需要知道问题确切的结果，就可用估算的方法求出问题的近似值，同时在估算时又要注意尽可能接近实际结果，简言之；一是方便，二是接近。
    教学估算的意义，从近期来看，可以让学生掌握估算方法以解决生活中的实际问题，逐步形成估算的能力；从长远来看，要以估算的教学做为载体，通过估算的学习，一是可以使学生的思维更灵活，从而形成良好的思维品质；二是可以使学生面对复杂的问题，学会判断、学会选择，逐步培养学生基本的数学意识，这就是估算教学的价值所在，也是新的时期对数学学科教育的重新认识和思考。
    五、改进建议
    基于以上反思，“让学生学习怎样的估算”的答案也就形成了。我们认为估算的教学，要达到以下几个方面的要求：
    首先，可通过问题情境让学生理解为什么要估算和怎样进行估算（一个要求是方便，另一个要求是接近）。
    例如，一箱果汁 182元，买9箱果汁需要多少钱？想一想，怎样算可以很快知道答案？
    对这一问题的思考和解答，学生可能会呈现出多种状态（有一个培养过程），备课时要考虑到各种可能性：有的精确计算，有的估算（很有可能没有学生估算，因为此题中没有“大约”两字），可能还会有错误答案，正是这种丰富的差异性，为我们的教学提供了资源。第一、教师要引导学生体会估算的好处。第二、教师要引导学生对被乘数182估数是估成180还是190、还是200的问题进行思考和讨论，让学生尝试体悟，把182估成180是估小了，钱不够，根据这个实际问题估数要估大。同时理解估算的要求一是方便、一是接近。第三、如果有学生提出“是否可把乘数9看成10？”就出彩了，但接着教师要引导学生比较182×5可否把5看成10（答案是否定的），通过讨论，让学生了解乘数也可估数，但一定要接近。如果没有学生提出此问题，可以到本堂课结束时由教师提出此问题，引导学生进行思考，为后面乘除数是两位数的乘除法学习做好孕伏。
    其次，创设问题情境让学生理解要根据实际情况选择计算方法，知道什么时候要精确运算，什么时候要估算，什么时候要估大，什么时候要估小。真正把书本知识与生活实际相沟通。通过这个问题的解决和体验，逐步使学生形成灵活解决实际问题的能力，同时培养学生的思维品质和基本的数学意识。
    例如，有375毫升的饮料，把它们倒入3个容量为100毫升的杯子中，杯子够放吗？
    可能的方法：
        375÷3=125>100                 375÷3≈100（把375看成300）
        375>100×3                      375÷3≈120（把375看成360）
        375-100×3=75                   375÷3≈130（把375看成400）
    教师要根据学生的实际状态，引导学生了解解决此问题的方法有很多，如果用估算的方法，怎样估计比较合理，是估大还是估小？通过师生、生生的思维碰撞，形成有效的互动，渗透和落实估算教学的长远目标。
    教师还可以把此题做改动：要把375毫升的饮料，正好倒入3个大小一样的杯子中，杯子最小要多大？
    通过两道题的比较，让学生知道第二个问题只能精确运算不能估算，从而使学生明白要学会根据实际情况进行判断，选择相应的解决问题的方法。
    最后，教师可设计一组情境问题让学生进行判断的练习，以巩固学生的理解。同时还可设计一些计算题让学生掌握估算的技巧，如204÷3，4780÷6等等。
    总之，要培养学生的估算能力和基本的数学意识，取决于教师对估算的理解和对数学教育的理解。
    还需要说明的是在平时的课堂教学中，教师要有这样的教学意识，即尽可能提供学生应用估算的方法来判断一些问题的范围，例如，17×3，可以让学生不计算，先估计一下这道题的大概范围；或者，先计算，再用估计的方法来判断题目计算是否正确。一方面让学生知道估算可以用来估计和判断题目的范围或计算的是否正确，另一方面通过估算可以培养学生对问题的敏感性和基本的估计判断能力。而这种能力的形成需要长期的潜移默化地渗透，需要教师每堂课坚持不懈、持之以恒的努力。